Apple MB792Z/A User Manual - Page 1183

The Comma, Detuned octaves are more noticeable to the ears, so your choice should be obvious.

Page 1183 highlights

For the rest of the scale: Tune the next fifth up: 150 x 3 = 450. Divide this by 2 to get 225 (which is more than an octave above the starting pitch, so you need to drop it another octave to 112.5). The following table provides a summary of the various calculations. Note C C# D D# E F (E#) F# G G# A A# B C Frequency (Hz) 100 106.7871 112.5 120.1355 126.5625 135.1524 142.3828 150 160.1807 168.75 180.2032 189.8438 202.7287 Notes x 1.5 divided by 2. Divide by 2 to stay in octave. Divide by 2 to stay in octave. Divide by 2 to stay in octave. Divide by 2 to stay in octave. Divide by 2 to stay in octave. (x 1.5) divided by 2. As you can see from the table above, there's a problem. Although the laws of physics dictate that the octave above C (100 Hz) is C (at 200 Hz), the practical exercise of a (C to C) circle of perfectly tuned fifths results in a C at 202.7287 Hz. This is not a mathematical error. If this were a real instrument, the results would be clear. To work around the problem, you need to choose between the following options: • Each fifth is perfectly tuned, with octaves out of tune. • Each octave is perfectly tuned, with the final fifth (F to C) out of tune. Detuned octaves are more noticeable to the ears, so your choice should be obvious. The Comma The difference between a perfectly tuned octave and the octave resulting from a tuned circle of fifths is known as the comma. Over the centuries, numerous approaches have been tried to solve this mystery, resulting in a range of scales (before arriving at equal temperament-the 12 tone scale). Chapter 42 Project Settings in Logic Express 1183

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
  • 16
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20
  • 21
  • 22
  • 23
  • 24
  • 25
  • 26
  • 27
  • 28
  • 29
  • 30
  • 31
  • 32
  • 33
  • 34
  • 35
  • 36
  • 37
  • 38
  • 39
  • 40
  • 41
  • 42
  • 43
  • 44
  • 45
  • 46
  • 47
  • 48
  • 49
  • 50
  • 51
  • 52
  • 53
  • 54
  • 55
  • 56
  • 57
  • 58
  • 59
  • 60
  • 61
  • 62
  • 63
  • 64
  • 65
  • 66
  • 67
  • 68
  • 69
  • 70
  • 71
  • 72
  • 73
  • 74
  • 75
  • 76
  • 77
  • 78
  • 79
  • 80
  • 81
  • 82
  • 83
  • 84
  • 85
  • 86
  • 87
  • 88
  • 89
  • 90
  • 91
  • 92
  • 93
  • 94
  • 95
  • 96
  • 97
  • 98
  • 99
  • 100
  • 101
  • 102
  • 103
  • 104
  • 105
  • 106
  • 107
  • 108
  • 109
  • 110
  • 111
  • 112
  • 113
  • 114
  • 115
  • 116
  • 117
  • 118
  • 119
  • 120
  • 121
  • 122
  • 123
  • 124
  • 125
  • 126
  • 127
  • 128
  • 129
  • 130
  • 131
  • 132
  • 133
  • 134
  • 135
  • 136
  • 137
  • 138
  • 139
  • 140
  • 141
  • 142
  • 143
  • 144
  • 145
  • 146
  • 147
  • 148
  • 149
  • 150
  • 151
  • 152
  • 153
  • 154
  • 155
  • 156
  • 157
  • 158
  • 159
  • 160
  • 161
  • 162
  • 163
  • 164
  • 165
  • 166
  • 167
  • 168
  • 169
  • 170
  • 171
  • 172
  • 173
  • 174
  • 175
  • 176
  • 177
  • 178
  • 179
  • 180
  • 181
  • 182
  • 183
  • 184
  • 185
  • 186
  • 187
  • 188
  • 189
  • 190
  • 191
  • 192
  • 193
  • 194
  • 195
  • 196
  • 197
  • 198
  • 199
  • 200
  • 201
  • 202
  • 203
  • 204
  • 205
  • 206
  • 207
  • 208
  • 209
  • 210
  • 211
  • 212
  • 213
  • 214
  • 215
  • 216
  • 217
  • 218
  • 219
  • 220
  • 221
  • 222
  • 223
  • 224
  • 225
  • 226
  • 227
  • 228
  • 229
  • 230
  • 231
  • 232
  • 233
  • 234
  • 235
  • 236
  • 237
  • 238
  • 239
  • 240
  • 241
  • 242
  • 243
  • 244
  • 245
  • 246
  • 247
  • 248
  • 249
  • 250
  • 251
  • 252
  • 253
  • 254
  • 255
  • 256
  • 257
  • 258
  • 259
  • 260
  • 261
  • 262
  • 263
  • 264
  • 265
  • 266
  • 267
  • 268
  • 269
  • 270
  • 271
  • 272
  • 273
  • 274
  • 275
  • 276
  • 277
  • 278
  • 279
  • 280
  • 281
  • 282
  • 283
  • 284
  • 285
  • 286
  • 287
  • 288
  • 289
  • 290
  • 291
  • 292
  • 293
  • 294
  • 295
  • 296
  • 297
  • 298
  • 299
  • 300
  • 301
  • 302
  • 303
  • 304
  • 305
  • 306
  • 307
  • 308
  • 309
  • 310
  • 311
  • 312
  • 313
  • 314
  • 315
  • 316
  • 317
  • 318
  • 319
  • 320
  • 321
  • 322
  • 323
  • 324
  • 325
  • 326
  • 327
  • 328
  • 329
  • 330
  • 331
  • 332
  • 333
  • 334
  • 335
  • 336
  • 337
  • 338
  • 339
  • 340
  • 341
  • 342
  • 343
  • 344
  • 345
  • 346
  • 347
  • 348
  • 349
  • 350
  • 351
  • 352
  • 353
  • 354
  • 355
  • 356
  • 357
  • 358
  • 359
  • 360
  • 361
  • 362
  • 363
  • 364
  • 365
  • 366
  • 367
  • 368
  • 369
  • 370
  • 371
  • 372
  • 373
  • 374
  • 375
  • 376
  • 377
  • 378
  • 379
  • 380
  • 381
  • 382
  • 383
  • 384
  • 385
  • 386
  • 387
  • 388
  • 389
  • 390
  • 391
  • 392
  • 393
  • 394
  • 395
  • 396
  • 397
  • 398
  • 399
  • 400
  • 401
  • 402
  • 403
  • 404
  • 405
  • 406
  • 407
  • 408
  • 409
  • 410
  • 411
  • 412
  • 413
  • 414
  • 415
  • 416
  • 417
  • 418
  • 419
  • 420
  • 421
  • 422
  • 423
  • 424
  • 425
  • 426
  • 427
  • 428
  • 429
  • 430
  • 431
  • 432
  • 433
  • 434
  • 435
  • 436
  • 437
  • 438
  • 439
  • 440
  • 441
  • 442
  • 443
  • 444
  • 445
  • 446
  • 447
  • 448
  • 449
  • 450
  • 451
  • 452
  • 453
  • 454
  • 455
  • 456
  • 457
  • 458
  • 459
  • 460
  • 461
  • 462
  • 463
  • 464
  • 465
  • 466
  • 467
  • 468
  • 469
  • 470
  • 471
  • 472
  • 473
  • 474
  • 475
  • 476
  • 477
  • 478
  • 479
  • 480
  • 481
  • 482
  • 483
  • 484
  • 485
  • 486
  • 487
  • 488
  • 489
  • 490
  • 491
  • 492
  • 493
  • 494
  • 495
  • 496
  • 497
  • 498
  • 499
  • 500
  • 501
  • 502
  • 503
  • 504
  • 505
  • 506
  • 507
  • 508
  • 509
  • 510
  • 511
  • 512
  • 513
  • 514
  • 515
  • 516
  • 517
  • 518
  • 519
  • 520
  • 521
  • 522
  • 523
  • 524
  • 525
  • 526
  • 527
  • 528
  • 529
  • 530
  • 531
  • 532
  • 533
  • 534
  • 535
  • 536
  • 537
  • 538
  • 539
  • 540
  • 541
  • 542
  • 543
  • 544
  • 545
  • 546
  • 547
  • 548
  • 549
  • 550
  • 551
  • 552
  • 553
  • 554
  • 555
  • 556
  • 557
  • 558
  • 559
  • 560
  • 561
  • 562
  • 563
  • 564
  • 565
  • 566
  • 567
  • 568
  • 569
  • 570
  • 571
  • 572
  • 573
  • 574
  • 575
  • 576
  • 577
  • 578
  • 579
  • 580
  • 581
  • 582
  • 583
  • 584
  • 585
  • 586
  • 587
  • 588
  • 589
  • 590
  • 591
  • 592
  • 593
  • 594
  • 595
  • 596
  • 597
  • 598
  • 599
  • 600
  • 601
  • 602
  • 603
  • 604
  • 605
  • 606
  • 607
  • 608
  • 609
  • 610
  • 611
  • 612
  • 613
  • 614
  • 615
  • 616
  • 617
  • 618
  • 619
  • 620
  • 621
  • 622
  • 623
  • 624
  • 625
  • 626
  • 627
  • 628
  • 629
  • 630
  • 631
  • 632
  • 633
  • 634
  • 635
  • 636
  • 637
  • 638
  • 639
  • 640
  • 641
  • 642
  • 643
  • 644
  • 645
  • 646
  • 647
  • 648
  • 649
  • 650
  • 651
  • 652
  • 653
  • 654
  • 655
  • 656
  • 657
  • 658
  • 659
  • 660
  • 661
  • 662
  • 663
  • 664
  • 665
  • 666
  • 667
  • 668
  • 669
  • 670
  • 671
  • 672
  • 673
  • 674
  • 675
  • 676
  • 677
  • 678
  • 679
  • 680
  • 681
  • 682
  • 683
  • 684
  • 685
  • 686
  • 687
  • 688
  • 689
  • 690
  • 691
  • 692
  • 693
  • 694
  • 695
  • 696
  • 697
  • 698
  • 699
  • 700
  • 701
  • 702
  • 703
  • 704
  • 705
  • 706
  • 707
  • 708
  • 709
  • 710
  • 711
  • 712
  • 713
  • 714
  • 715
  • 716
  • 717
  • 718
  • 719
  • 720
  • 721
  • 722
  • 723
  • 724
  • 725
  • 726
  • 727
  • 728
  • 729
  • 730
  • 731
  • 732
  • 733
  • 734
  • 735
  • 736
  • 737
  • 738
  • 739
  • 740
  • 741
  • 742
  • 743
  • 744
  • 745
  • 746
  • 747
  • 748
  • 749
  • 750
  • 751
  • 752
  • 753
  • 754
  • 755
  • 756
  • 757
  • 758
  • 759
  • 760
  • 761
  • 762
  • 763
  • 764
  • 765
  • 766
  • 767
  • 768
  • 769
  • 770
  • 771
  • 772
  • 773
  • 774
  • 775
  • 776
  • 777
  • 778
  • 779
  • 780
  • 781
  • 782
  • 783
  • 784
  • 785
  • 786
  • 787
  • 788
  • 789
  • 790
  • 791
  • 792
  • 793
  • 794
  • 795
  • 796
  • 797
  • 798
  • 799
  • 800
  • 801
  • 802
  • 803
  • 804
  • 805
  • 806
  • 807
  • 808
  • 809
  • 810
  • 811
  • 812
  • 813
  • 814
  • 815
  • 816
  • 817
  • 818
  • 819
  • 820
  • 821
  • 822
  • 823
  • 824
  • 825
  • 826
  • 827
  • 828
  • 829
  • 830
  • 831
  • 832
  • 833
  • 834
  • 835
  • 836
  • 837
  • 838
  • 839
  • 840
  • 841
  • 842
  • 843
  • 844
  • 845
  • 846
  • 847
  • 848
  • 849
  • 850
  • 851
  • 852
  • 853
  • 854
  • 855
  • 856
  • 857
  • 858
  • 859
  • 860
  • 861
  • 862
  • 863
  • 864
  • 865
  • 866
  • 867
  • 868
  • 869
  • 870
  • 871
  • 872
  • 873
  • 874
  • 875
  • 876
  • 877
  • 878
  • 879
  • 880
  • 881
  • 882
  • 883
  • 884
  • 885
  • 886
  • 887
  • 888
  • 889
  • 890
  • 891
  • 892
  • 893
  • 894
  • 895
  • 896
  • 897
  • 898
  • 899
  • 900
  • 901
  • 902
  • 903
  • 904
  • 905
  • 906
  • 907
  • 908
  • 909
  • 910
  • 911
  • 912
  • 913
  • 914
  • 915
  • 916
  • 917
  • 918
  • 919
  • 920
  • 921
  • 922
  • 923
  • 924
  • 925
  • 926
  • 927
  • 928
  • 929
  • 930
  • 931
  • 932
  • 933
  • 934
  • 935
  • 936
  • 937
  • 938
  • 939
  • 940
  • 941
  • 942
  • 943
  • 944
  • 945
  • 946
  • 947
  • 948
  • 949
  • 950
  • 951
  • 952
  • 953
  • 954
  • 955
  • 956
  • 957
  • 958
  • 959
  • 960
  • 961
  • 962
  • 963
  • 964
  • 965
  • 966
  • 967
  • 968
  • 969
  • 970
  • 971
  • 972
  • 973
  • 974
  • 975
  • 976
  • 977
  • 978
  • 979
  • 980
  • 981
  • 982
  • 983
  • 984
  • 985
  • 986
  • 987
  • 988
  • 989
  • 990
  • 991
  • 992
  • 993
  • 994
  • 995
  • 996
  • 997
  • 998
  • 999
  • 1,000
  • 1,001
  • 1,002
  • 1,003
  • 1,004
  • 1,005
  • 1,006
  • 1,007
  • 1,008
  • 1,009
  • 1,010
  • 1,011
  • 1,012
  • 1,013
  • 1,014
  • 1,015
  • 1,016
  • 1,017
  • 1,018
  • 1,019
  • 1,020
  • 1,021
  • 1,022
  • 1,023
  • 1,024
  • 1,025
  • 1,026
  • 1,027
  • 1,028
  • 1,029
  • 1,030
  • 1,031
  • 1,032
  • 1,033
  • 1,034
  • 1,035
  • 1,036
  • 1,037
  • 1,038
  • 1,039
  • 1,040
  • 1,041
  • 1,042
  • 1,043
  • 1,044
  • 1,045
  • 1,046
  • 1,047
  • 1,048
  • 1,049
  • 1,050
  • 1,051
  • 1,052
  • 1,053
  • 1,054
  • 1,055
  • 1,056
  • 1,057
  • 1,058
  • 1,059
  • 1,060
  • 1,061
  • 1,062
  • 1,063
  • 1,064
  • 1,065
  • 1,066
  • 1,067
  • 1,068
  • 1,069
  • 1,070
  • 1,071
  • 1,072
  • 1,073
  • 1,074
  • 1,075
  • 1,076
  • 1,077
  • 1,078
  • 1,079
  • 1,080
  • 1,081
  • 1,082
  • 1,083
  • 1,084
  • 1,085
  • 1,086
  • 1,087
  • 1,088
  • 1,089
  • 1,090
  • 1,091
  • 1,092
  • 1,093
  • 1,094
  • 1,095
  • 1,096
  • 1,097
  • 1,098
  • 1,099
  • 1,100
  • 1,101
  • 1,102
  • 1,103
  • 1,104
  • 1,105
  • 1,106
  • 1,107
  • 1,108
  • 1,109
  • 1,110
  • 1,111
  • 1,112
  • 1,113
  • 1,114
  • 1,115
  • 1,116
  • 1,117
  • 1,118
  • 1,119
  • 1,120
  • 1,121
  • 1,122
  • 1,123
  • 1,124
  • 1,125
  • 1,126
  • 1,127
  • 1,128
  • 1,129
  • 1,130
  • 1,131
  • 1,132
  • 1,133
  • 1,134
  • 1,135
  • 1,136
  • 1,137
  • 1,138
  • 1,139
  • 1,140
  • 1,141
  • 1,142
  • 1,143
  • 1,144
  • 1,145
  • 1,146
  • 1,147
  • 1,148
  • 1,149
  • 1,150
  • 1,151
  • 1,152
  • 1,153
  • 1,154
  • 1,155
  • 1,156
  • 1,157
  • 1,158
  • 1,159
  • 1,160
  • 1,161
  • 1,162
  • 1,163
  • 1,164
  • 1,165
  • 1,166
  • 1,167
  • 1,168
  • 1,169
  • 1,170
  • 1,171
  • 1,172
  • 1,173
  • 1,174
  • 1,175
  • 1,176
  • 1,177
  • 1,178
  • 1,179
  • 1,180
  • 1,181
  • 1,182
  • 1,183
  • 1,184
  • 1,185
  • 1,186
  • 1,187
  • 1,188
  • 1,189
  • 1,190
  • 1,191
  • 1,192
  • 1,193
  • 1,194
  • 1,195
  • 1,196
  • 1,197
  • 1,198
  • 1,199
  • 1,200
  • 1,201
  • 1,202
  • 1,203
  • 1,204
  • 1,205
  • 1,206
  • 1,207
  • 1,208
  • 1,209
  • 1,210
  • 1,211
  • 1,212
  • 1,213
  • 1,214
  • 1,215
  • 1,216
  • 1,217
  • 1,218
  • 1,219
  • 1,220
  • 1,221
  • 1,222
  • 1,223
  • 1,224
  • 1,225
  • 1,226
  • 1,227
  • 1,228
  • 1,229
  • 1,230
  • 1,231
  • 1,232
  • 1,233
  • 1,234
  • 1,235
  • 1,236
  • 1,237
  • 1,238
  • 1,239
  • 1,240
  • 1,241
  • 1,242
  • 1,243
  • 1,244
  • 1,245
  • 1,246
  • 1,247
  • 1,248
  • 1,249
  • 1,250
  • 1,251
  • 1,252
  • 1,253
  • 1,254
  • 1,255
  • 1,256
  • 1,257
  • 1,258
  • 1,259
  • 1,260
  • 1,261
  • 1,262
  • 1,263
  • 1,264
  • 1,265
  • 1,266
  • 1,267
  • 1,268
  • 1,269
  • 1,270
  • 1,271
  • 1,272
  • 1,273
  • 1,274
  • 1,275
  • 1,276
  • 1,277
  • 1,278
  • 1,279
  • 1,280
  • 1,281
  • 1,282
  • 1,283
  • 1,284
  • 1,285
  • 1,286
  • 1,287
  • 1,288
  • 1,289
  • 1,290
  • 1,291
  • 1,292
  • 1,293
  • 1,294

For the rest of the scale:
Tune the next fifth up:
150 x 3 = 450. Divide this by 2 to get 225
(which is more than an octave above the starting pitch, so you need to drop it another
octave to 112.5).
The following table provides a summary of the various calculations.
Notes
Frequency (Hz)
Note
x 1.5 divided by 2.
100
C
Divide by 2 to stay in octave.
106.7871
C#
Divide by 2 to stay in octave.
112.5
D
Divide by 2 to stay in octave.
120.1355
D#
Divide by 2 to stay in octave.
126.5625
E
135.1524
F (E#)
Divide by 2 to stay in octave.
142.3828
F#
(x 1.5) divided by 2.
150
G
160.1807
G#
168.75
A
180.2032
A#
189.8438
B
202.7287
C
As you can see from the table above, there’s a problem.
Although the laws of physics dictate that the octave above C (100 Hz) is C (at 200 Hz),
the practical exercise of a (C to C) circle of perfectly tuned fifths results in a C at
202.7287 Hz. This is not a mathematical error. If this were a real instrument, the results
would be clear.
To work around the problem, you need to choose between the following options:
• Each fifth is perfectly tuned, with octaves out of tune.
• Each octave is perfectly tuned, with the final fifth (F to C) out of tune.
Detuned octaves are more noticeable to the ears, so your choice should be obvious.
The Comma
The difference between a perfectly tuned octave and the octave resulting from a tuned
circle of fifths is known as the
comma
.
Over the centuries, numerous approaches have been tried to solve this mystery, resulting
in a range of scales (before arriving at equal temperament—the 12 tone scale).
1183
Chapter 42
Project Settings in Logic Express