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Finding a polynomial from a set of roots, Solving linear systems

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Solving equations
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Solving equations
Finding a polynomial from a set of roots
7R±ILQG±D±SRO\QRPLDO±HTXDWLRQ±WKDW±FRUUHVSRQGV±WR±D±VHW±RI±URRWV¾±XVH±WKH±
IROORZLQJ±SURFHGXUH¿
¼²
2SHQ±WKH±QXPHULF±VROYHU±DQG±VHOHFW±
±
±WR±GLVSOD\±WKH±
&RHIILFLHQWV±LQSXW±IRUP²±
µ²
3UHVV±
]
±WR±SODFH±WKH±FXUVRU±LQ±WKH±5RRWV±ILHOG¾±DQG±SUHVV±
²±0DWUL[±
:ULWHU±RSHQV¾±UHDG\±IRU±XVH²
¶²
,Q±0DWUL[±:ULWHU¾±HQWHU±WKH±URRWV±RQ±WKH±WRS±URZ±RI±WKH±PDWUL[¾±DQG±
SUHVV±
\
±WR±SODFH±WKH±YDOXHV¾±LQ±YHFWRU±IRUP¾±RQ±WKH±LQSXW±IRUP²
·²
3UHVV±
[
±WR±SODFH±WKH±FXUVRU±LQ±WKH±&RHIILFLHQWV±ILHOG²
¸²
3UHVV±
²±7KH±QXPHULF±VROYHU±VROYHV±WKH±HTXDWLRQ±DQG±SODFHV±WKH±
FRHIILFLHQWV¾±LQ±YHFWRU±IRUP¾±LQ±WKH±&RHIILFLHQWV±ILHOG²
Solving linear systems
$±OLQHDU±V\VWHP±LV±D±VHW±RI±OLQHDU±HTXDWLRQV±ZKHUH±WKHUH±LV±PRUH±WKDQ±RQH±
LQGHSHQGHQW±YDULDEOH²±)RU±H[DPSOH¾±WKH±IROORZLQJ±LV±D±V\VWHP±ZKHUH±WKHUH±
DUH±WZR±OLQHDU±HTXDWLRQV±DQG±WZR±LQGHSHQGHQW±YDULDEOHV²
7KHUH±DUH±WKUHH±W\SHV±RI±OLQHDU±V\VWHPV¿
À
([DFWO\±GHWHUPLQHG±V\VWHPV±
DUH±V\VWHPV±ZKHUH±WKHUH±LV±WKH±VDPH±
QXPEHU±RI±HTXDWLRQV±DV±WKHUH±DUH±LQGHSHQGHQW±YDULDEOHV²±7KH±+3±·»*±
FDQ±VROYH±WKHVH±V\VWHPV±WR±WKH±OLPLWV±RI±LWV±DFFXUDF\²
À
2YHU²GHWHUPLQHG±V\VWHPV±
DUH±V\VWHPV±ZKHUH±WKHUH±LV±D±JUHDWHU±
QXPEHU±RI±HTXDWLRQV±WKDQ±WKHUH±DUH±LQGHSHQGHQW±YDULDEOHV²±8VXDOO\±
WKHUH±LV±QR±H[DFW±VROXWLRQ±WR±WKHVH±V\VWHPV²±7KH±+3±·»*±UHWXUQV±WKH±
OHDVW´VTXDUHV±VROXWLRQ²
À
8QGHU²GHWHUPLQHG±V\VWHPV±
DUH±V\VWHPV±ZKHUH±WKHUH±LV±D±VPDOOHU±
QXPEHU±RI±HTXDWLRQV±WKDQ±WKH±QXPEHU±RI±LQGHSHQGHQW±YDULDEOHV²±
8VXDOO\±WKHUH±LV±DQ±LQILQLWH±QXPEHU±RI±VROXWLRQV±WR±WKHVH±V\VWHPV²±7KH±
+3±·»*±UHWXUQV±WKH±VROXWLRQ±ZLWK±WKH±PLQLPXP±(XFOLGHDQ±QRUP²
[
µ
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